Extraits du livre

2.3-1 Propriétés de [K] :

Tous les coefficients de la diagonale K_ii sont positifs. Ceci est physiquement raisonnable, cela veut dire qu’un effort par exemple dirigé vers la droite ne peut pas produire un déplacement vers la gauche (il faut garder à l’esprit que pour trouver K_ii par exemple, on active D_i seul, tous les autres degrés de liberté étant nuls). En général, pour une structure, aucun coefficient de la diagonale K_ii n’est nul à moins que la structure ne soit instable.

La matrice [K] est symétrique. Ceci est vrai pour toute structure faite d’un matériau élastique linéaire où la loi de comportement est sous la forme , k constant. La symétrie de [K] est aussi le résultat du principe de réciprocité de Maxwell – Betti. Si la structure n’est « attachée »

par aucune liaison avec l’extérieur, sa matrice [K] va traduire l’existence d’un mouvement solide – rigidifiant. Pour le treillis de la figure 2.2-1, voici des exemples de vecteur de déplacement {D} qui définissent des mouvements solide – rigidifiant :

{D}₁ = ë 0  0  0û^T                            {D}₂ = ë0  0  0 û^T

{D}₃ = ë û^T                                 {D}₄ = ë4q 3q 4q 0 0 0û^T                                                                                                                       (2.3-1)

où et q sont respectivement un petit déplacement et une petite rotation. Ces vecteurs de déplacement représentent respectivement une translation globale de la structure dans le sens x, une translation globale dans le sens y, une translation globale oblique (ici suivant la droite d’équation x = y) et une rotation d’ensemble autour du nœud 3. Pour toute structure plane, seules 3 parmi le nombre infini de modes de déplacement solides rigidifiant sont linéairement indépendants. Le choix de ces trois modes est arbitraire. Par exemple, des équations 2.3-1, on peut choisir {D}₄ et deux quelconques entre les trois autres {D}₁, {D}₂ et {D}₃. Les trois premiers modes de l’équation 2.3-1 sont dépendants puisqu’on peut écrire : {D}₃ = {D}₁ + {D}₂.

 

On sait qu’un mouvement solide-rigidifiant ne crée pas de déformation dans la structure. Ainsi, [K] {D}_i = {0} pour tout {D}_i définissant un mouvement solide-rigidifiant.

 

Figure 2.2-1 : Treillis à 3 barres. Les degrés de liberté u₂, v₂ et u₃ sont imposés. Les degrés de liberté u₁, v₁ et v₃ autorisés à varier. La seule force extérieure appliquée est P.