LES FONDEMENTS DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS : COURS ET PROBLÈMES RÉSOLUS

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Livre Broché : 22,90

Ce cours s’adresse principalement aux étudiants de maîtrise, de DEA et d’écoles d’ingénieurs qui s’initient à la méthode des éléments finis. Le recours intensif à l’outil numérique fait parfois oublier que le résultat d’un calcul d’ordinateur ne peut être correctement interprété que par l’ingénieur qui maîtrise non seulement sa discipline mais également les fondements théoriques de la méthode. Il a été élaboré à partir de notes personnelles, de questions et difficultés des étudiants depuis la vingtaine d’années que je le dispense. Le tout complété par de nombreux problèmes traités et abondamment commentés, dans les domaines de la mécanique des milieux continus, du calcul des structures, de la résistance des matériaux et de la diffusion thermique ou hydraulique. Suite à cette expérience d’enseignement accumulée, il m’est apparu que les difficultés des étudiants se situent plus au niveau des principes généraux de construction de solutions approchées qu’au niveau des calculs à proprement parler. Quand les expressions des matrices élémentaires sont établies, ils arrivent assez aisément à mener les calculs à partir des fonctions d’interpolation. Pour cette raison, cet ouvrage insiste plus sur des problèmes liés à la construction générale des solutions numériques des équations aux dérivées partielles que sur la formulation même des éléments. L’objectif principal de cet ouvrage est donc d’amener l’étudiant à mieux appréhender la nécessité de la construction d’une méthode numérique comme la méthode des éléments finis pour résoudre les équations aux dérivées partielles et attirer son attention sur les précautions générales à prendre pour que les éventuelles solutions soient acceptables. La lecture de l’ouvrage requiert peu de prérequis. Les équations aux dérivées partielles à résoudre sont en général rappelées quand c’est nécessaire. Une maîtrise de l’algèbre matricielle élémentaire, de la géométrie tensorielle et déférentielle est parfois exigée. Le niveau mathématique indispensable, mis à part l’algèbre matricielle, est assez sommaire et on insiste plus sur le sens physique des choses. Quasiment pour chaque équation écrite est donnée une interprétation physique.

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Extraits du livre

2.3-1 Propriétés de [K] :

Tous les coefficients de la diagonale Kii sont positifs. Ceci est physiquement raisonnable, cela veut dire qu’un effort par exemple dirigé vers la droite ne peut pas produire un déplacement vers la gauche (il faut garder à l’esprit que pour trouver Kii par exemple, on active Di seul, tous les autres degrés de liberté étant nuls). En général, pour une structure, aucun coefficient de la diagonale Kii n’est nul à moins que la structure ne soit instable.

La matrice [K] est symétrique. Ceci est vrai pour toute structure faite d’un matériau élastique linéaire où la loi de comportement est sous la forme , k constant. La symétrie de [K] est aussi le résultat du principe de réciprocité de Maxwell – Betti. Si la structure n’est « attachée »

par aucune liaison avec l’extérieur, sa matrice [K] va traduire l’existence d’un mouvement solide – rigidifiant. Pour le treillis de la figure 2.2-1, voici des exemples de vecteur de déplacement {D} qui définissent des mouvements solide – rigidifiant :

{D}1 = ë 0  0  0ûT                            {D}2 = ë0  0  0 ûT

{D}3 = ë ûT                                 {D}4 = ë4q 3q 4q 0 0 0ûT                                                                                                                       (2.3-1)

où et q sont respectivement un petit déplacement et une petite rotation. Ces vecteurs de déplacement représentent respectivement une translation globale de la structure dans le sens x, une translation globale dans le sens y, une translation globale oblique (ici suivant la droite d’équation x = y) et une rotation d’ensemble autour du nœud 3. Pour toute structure plane, seules 3 parmi le nombre infini de modes de déplacement solides rigidifiant sont linéairement indépendants. Le choix de ces trois modes est arbitraire. Par exemple, des équations 2.3-1, on peut choisir {D}4 et deux quelconques entre les trois autres {D}1, {D}2 et {D}3. Les trois premiers modes de l’équation 2.3-1 sont dépendants puisqu’on peut écrire : {D}3 = {D}1 + {D}2.

 

On sait qu’un mouvement solide-rigidifiant ne crée pas de déformation dans la structure. Ainsi, [K] {D}i = {0} pour tout {D}i définissant un mouvement solide-rigidifiant.

 

Figure 2.2-1 : Treillis à 3 barres. Les degrés de liberté u2, v2 et u3 sont imposés. Les degrés de liberté u1, v1 et v3 autorisés à varier. La seule force extérieure appliquée est P.

 

Informations complémentaires

ISBN ebook

9782407030590

Version

Ebook téléchargeable, Livre papier

Format livre

649 pages

ISBN livre

9782407011605

A propos de l'auteur : Diouta Ngamy

Diouta Ngamy

L’auteur est ancien élève de l’ENSET de Douala au Cameroun, ancien élève de l’ENS de Cachan à Paris pour la préparation à l’Agrégation de Génie Civil. Diplômé de l’université Paris 6 Jussieu en Maitrise de Technologie de Construction en 1991, il obtient un Diplôme d’Etudes Approfondies (DEA) en Modélisation Numérique des Structures au Laboratoire de Mécanique de Lille (LML, Lille 1) en 1992. Il prépare dans le même laboratoire sa thèse de Doctorat qu’il soutient en octobre 1995. Rentré au Cameroun, il enseigne à l’ENSET et en 2008, il crée l’Ecole d’Ingénierie Industrielle (E2I) qu’il dirige actuellement. Inscrit sur la liste d’aptitude à la Maitrise de Conférences en France en 2006 (Filière : Mécanique), il est également membre du Conseil Consultatif des Institutions Universitaires (CCIU) au Cameroun. Il est Professeur associé dans plusieurs autres institutions tant au plan national qu’international : l’Université des Montagnes (UDM, Bangangté, Cameroun), l’Université Libre des Pays des Grands Lacs (ULPGL, Goma, République démocratique du Congo), l’Ecole Supérieure des Travaux Publics de Ouagadougou (ESTPO, Ouagadougou, Burkina Faso).